象牙塔裏的人

The end

2010-10-29T02:45:00.000-07:00

此 Blog 不會再更新，取而代之的是這個 Blog。

There is a perfect man in my mind, namely, God

2010-10-28T02:21:00.000-07:00

最近在這裏的教會上英文課，討論道德問題。星期一的時候，本來我們討論的問題是「應否說謊」，結果推而廣之，變成了討論「什麼事應該做，什麼事不應該做」。

我說，每個人心目中都應該有一個 perfect man 的概念。我們應該做的事，就是接近他；我們不應該做的事，就是遠離他。

然後那個教會的導師聽了，說，這正是基督教的概念。這個 perfect man 是神，他是我們做事的指標，不過因為人有原罪，所以無論我們多努力，我們永遠不能到達神的境界。

令我想起那些神存不存在的 argument，有些用的就是這個定義。

讀數學系在明明德系列之一 - 是非之地

2010-10-27T01:46:00.001-07:00

數學系是一個是非之地，環繞著我們的就是是非問題：這個命題對不對？若對，何時對？不一定對，欠了什麼前提？不對，錯在哪裏？証之。

跟其它科目不同，我們握在手中的是接近絕對的真理，我們讀的是 everlasting words，我們學的是接近真理的方法。

在新生一進中大第一年讀的科目之中，Elementary Analysis 與 Linear Algebra 尤其重要。此兩科的重要性，除了在於其廣泛應用，亦在於培養嚴謹的判辨方法及科學精神。

The truth is incontrovertible, malice may attack it, ignorance may deride it, but in the end; there it is. - Winston Churchill

Anyone who doesn't take truth seriously in small matters cannot be trusted in large ones either. - Albert Einstein

There is not a truth existing which I fear... or would wish unknown to the whole world. - Thomas Jefferson

所謂嚴謹的判辨方法，就是當問及對錯時，有根有據地一步一步地推論。你若要知道一條命題是否正確，只須要看它的証明；你要知道一個証明是否正確，只須看清楚前提，一步一步地仔細看其推論。只要每一步都是正確的，整個証明就是正確的。如果看不出兩步之間的關係，至少也不會把錯誤的証明看成是正確的，從而能夠正確地去了解問題所在，而不會被自己的愚昧蒙騙。

這裏所指的科學精神，是追求真理的一種態度。學會了嚴謹的判辨方法而不使用是一種可惜。如果事情的真假對於你來說很重要，你就會很自然地嚴謹地思考，不敢貿然下結論，不會輕易相信你所吸收的事情，因此會懷疑，會一想再想有沒有漏洞；自己做証明時亦不會輕易地讓自己犯錯而不察覺。

真理所以是真理，因為它經得起質疑；當它經得起你自己的質疑的時候，你就能從心底出發地奉它為真理；往後當你看見矛盾的時候，你就知道道理在哪一方了。

這些都不是什麼大道理，活用這些道理的生活例子，我想到了這個：

當我第一次知道要拍那個洗頭水廣告的時候，其實我是拒絕的！因為我覺得，你不能叫我拍、馬上拍，第一，我要試一下，我又不想說，你拍一個廣告拍完以後加了很多特技，那頭髮動啊，很黑！很亮！很柔！結果觀眾出來一定罵我，根本沒有這種頭髮！這證明上面那個是假的。我說先要給我試一下。後來我經過也知道他們是中藥的，而且沒有那種化學成分的。那洗了這個月，這個月下來之後呢，起碼我用了很舒服。現在每天還在用！我還給了我成家班用！來！來！來！大家試試看！那我跟導演講︰「拍的時候就拍！拍完之後，這個頭髮就是我的頭髮，就不要加，再加特技上去，加到沒有就是這樣子！我要給觀眾看到，我用完之後是這樣子，你們用完之後，也是這樣子！

不過呢，這些是是非非，不要用錯地方。女朋友問你，她漂不漂亮，你就不要理性地去給她分析；該怎樣答，不用教了吧 =D

讀數學系在明明德系列 - 序

2010-10-26T02:26:00.000-07:00

讀大學以來，經常在思考一些問題，最近又泛過一點浪花，實在不吐不快。

沈祖堯校長在今年開學禮時引用了一句話：「教育是把一切所學忘掉後而仍然剩下來的東西。」

到底數學系的同學們畢業以後，如若可以把數學忘記得一乾二淨，

除了只有殘留的軀殼來迎接光輝歲月之外，還留下了什麼呢？

到底有些同學讀數學讀得很好，是否就只是因為他們靈感 IQ 稱得上十分之高超，

創作力量同幻想會嚇你一跳；或者就只是星期一到星期七多勞多得？

黎緊一連幾篇文，將會和大家探討這些問題。

雜記 - 十年一覺揚州夢

2010-05-15T00:13:00.000-07:00

1. 本來覺得今年的考試時間表很好，可以有兩個星期時間給我準備兩科。然而，這兩個星期過得很不充實，就如這兩年的縮影一樣，用兩個星期去完成了本來可以幾天內做完的事情。

2. 每當我靜下來，抽離一下看看我自己，就會覺得這個人很糟糕。可是當我身在其中，我卻無法做好一點，因為這就是真正的我，真正的我就是這樣糟糕。

3. 還有三個月，就要到夏威夷去。總結這兩年，我所得到的並不多。很羨慕有些人進入了大學以後，有很清晰的目標，一步一步地去達成。但我只是在猶疑不決。

4. 這兩年讀的課程，讓我感覺很不真實，可能是因為我不能明白，亦不知道應該怎樣才能讀得好。是時候作一些新嘗試了。

雜記 - 風繼續吹

2010-04-11T05:20:00.000-07:00

1. 最近想到了 FYP 做關於「愛情」的題目，其實是乘車回家時看「蘋果橘子」時突然想到的。其實我心中有更準確的題目，不過為免泄漏題目，我只會跟可能的 FYP-mate 說。

2. 所以有這種想法，大概是因為明白到愛情難求，而且欠缺條件的人的愛情更難求。雖然大概求不得，我仍想研究一下「這到底是件怎樣的事情」。

3. 不過，我認為愛情與婚姻是兩件事。

4. 與其欺騙自己，不如放眼未來吧。

5. 有人說「江山易改，本性難移」。在自己身上，我看見了這個道理。

雜記 - 偶有所思

2010-04-11T04:12:00.001-07:00

1. 有感在乘車時看數學書的效率不太高，所以最近都拿一些「課外讀物」出來看。

2. 剛剛看完了「蘋果橘子經濟學」。對那些研究問題的手法有點興趣。不過書中在進行推論的時候，留下了很多空白，書中很多結論感覺是「不知道在哪裏冒出來似的」。

3. 書中提及了教育問題。我回想起小時候那些奇怪的舉動與想法，也有一種「一出生就有很多東西不是自己所能選擇」的感覺。

4. 其實就算「強決定論」是對的，我們也不應該在假設它為對的情況下作出選擇。「強決定論」存在與否，對我們的選擇並沒有影響：若它是對的，我們作出的選擇事實上是已決定的，「是否假設它為對」也是已決定的。所以「強決定論」實際上是說了等於沒說，為免窒礙思考，還是及早把它剃掉吧。

5. 今個學期上了一個經濟學通識課程（在此之前我只有中三程度的經濟學）。談到那隻「看不見的手」，一開始的時候感覺不錯。因為它給了一個「很好的」理由讓人追求個人的利益；那就是在一些條件下，追求個人的利益能導致社會的利益極大化。

6. 不過想深一層，其實這是種「結果論」的看法：只要做這件事的結果是好的，我們就應該做這件事。（課程就是只談利益，不談道德）

7. （雖然沒有對錯可言）但我所持的觀點是，應否做一件事情，不能單純的想利益的問題。例如說墮胎問題，「蘋果橘子」中提及墮胎合法化(由本來的有特殊原因才允許墮胎，變為墮胎不會承受法律責任) 導致犯罪率下降。但因濫交而墮胎這件事本身是否道德的？

8. 我把陶國璋在「哲學的追尋」中的例子稍作修改：一個醫生盡了努力拯救一位病人，但病人最終不治死亡，怎知道若這個醫生不替病人做手術，病人反而能存活多幾個月；那麼根據結果論，這個醫生不就是不應該替這個病人做手術嗎？

9. 最近香港在討論「最低工資」的問題；根據經濟學的預測，一旦設立最低工資，接近必然會導致更多人失業，只在於多寡的問題。那就是否不應該設立最低工資呢？

10. 或許「道德的表現」，以經濟學理論的說法就是：「以滿足社會的利益作為自身的滿足的一部份。」以儒家的學說，就是「推己及人」的精神。

11. 或許在這個競爭激烈的社會，當全世界都在把自己的利益極大化，要生存都得犠牲一點道德。我明白這是「稀少性的詛咒」。唯有寄望在物質上富有的人，在極大化自己利益的同時，想想身邊貧困的人，發放一下「人性的光輝」。

雜記 - 歸去也無風雨也無晴

2010-03-26T08:36:00.000-07:00

1. 今個星期是很忙碌的一個星期。本來是：星期二 STOT Present，星期三 Topo Test 2，星期五 Project Present。然而在星期一收到個 OAL o既 Email，星期五 12 點之前要交一堆文件。

2. STOT 總算是平安過渡。不過可能我說的東西太淺，引起觀眾不滿情緒。也對的，我實在不知道什麼重要，什麼不重要；什麼應該 Present，什麼應該 Let it be proved。

3. STOT 過後才準備第二天的 Topo Test 2，只準備了一個晚上，一個早上。未開考已經有赴刑場的覺悟。雖然似乎大家也不夠時間做，不過我對自己的表現深感遺憾。到了晚上準備睡覺的時候，突然想起自己做錯了一條題目。唉，考試的時候依然心神恍忽，未能集中精神，做到最好。

4. 星期四晚上有一個很特別的書院聚會，請來了香港歌劇團介紹歌劇，並即場示範演出。當中有些似曾相識的曲目，令人血脈沸騰。若有機會，或許將來會去聽聽歌劇，附庸風雅一下。

5. 然後回到宿舍，寫一篇關於為何想 exchange 的文章，想一想 exchange 的時候應該 take 什麼 course。突然有一種想法，或許到了那裏應該 take 一些中大沒有的課程，不把 credit 帶回來中大，多作一些新嘗試，例如多點 take 數學以外的課程。

6. 星期五早上本應是 Photo Day的日子，但我要回家拿 IELTS 的正本，一來一回已沒有了兩三個小時。回程的時候順道到沙田的銀行拿証明文件，然後一併交回 OAL。怎知道 OAL 的職員一 check，才發現那証明文件的資料錯了，又要到銀行處理。於是我去了Photo Day，停留了十五分鐘左右，沒拍什麼照就走了，然後再到沙田去更正証明文件。

7. 忙碌過後，吃過午餐，已經是下午三時了。

8. 在三點半時去聽 Smale 的 Lecture，似慬非慬的樣子。

9. 最近在看一本書，內容是關於哈佛大學生學習事宜的訪問。令我感受最深的，是有些學生進了大學後是很有目的地讀書，選擇一些課程是因為想研究某些事情。

再思基督教

2010-03-12T21:29:00.000-08:00

經常在百萬大道遇上一些基督徒向我傳教，我也會藉著這些機會好好向他們「反傳教」。讓他們聽聽多些方面的意見或許是一件好事，雖然有些基督徒聽完我說的話以後樣子好像有點失落。星期四的時候又遇到了兩個傳教的基督徒，我又跟他們說說我的看法。

其實我並不反對其它人相信這個世界有造物主，或許你有一種特別的體會，而我沒有。我所針對的是傳教的手法。

有些傳教的人會以「相信基督教的神有很多好處」的理由向其它人傳教，我就覺得這件事太過「反智」，這大概就是「不要問，只要信，信了有你著數」的論調，認為因為結果是好的，人們就應該「自己給自己洗腦」，埋沒自己的「是非之心」。

「是非之心」是一個正常的人應該擁有的特質，就別一開始就說有本書上所寫的東西是完全沒有錯誤的吧。就問多點問題，好讓自己理解多一點，距離現實近一點。否則事情的結果可能是很壞的，你可能會被你的信仰所利用，進行一些名為公義，實為私利的事情。

看看歷史上的「十字軍東征」，就想想看你是當時的一個平民，被貴族以「捍衛宗教、解放聖地」的理由征召，你可能會因此戴上了一個光環出戰。但在你的貴族眼裏，你可能不過是掠奪土地與資源的一件工具。

又有些傳教的人會以某種邏輯向其它人傳教，大概是這樣的：「聖經是真的，聖經說如果人們不相信上帝就得下地獄，我不想你下地獄，所以我無論如何都要你相信上帝，這是為你好的。」以這邏輯傳教，好像給自己的頭頂加了個光環，佔據了道德高地似的；但本質上，以這種邏輯傳教的人，不過是把自己的想法加諸別人身上；這些事做起上來美其名是為對方著想，但實際上有多少是為了自己而做的？如果你是其中一員，就問問自己吧。

若現在 The Matrix 中的 Morpheus 問你要哪一粒藥丸，或許你仍然希望選擇藍色的，回到那個讓你感到舒適的世界；希望你至少在選擇之前，讓自己的「是非之心」掙扎一下。

雜記 - 接踵而來的大事件

2010-03-12T07:39:00.000-08:00

1. 上次的 Presentation 只可以用「糟透了」來形容。幸好今天的尚算自我感覺良好。這兩次的分別，並不在於預備的時間長短，只是今次對自己的要求提高了，著緊了，不能再得過且過了。

2. 現在想來，take 這個 course 實在很值得。

3. 曾經有一種浪漫，以為把所有 Axiom 寫出來，就能形式上証明所有命題，而能夠把命題証明，就足夠了。然而最近又想，其實只是著眼於命題之間的關係，只是了解定義和命題的字面意義，是膚淺的；定義與命題，寫出來只是一種非常片面的投影；真正的意義，是在字面上不能直接了解的，要通過想像，思考，用心感受，才會體會其一部份。

4. 心中有一個概念，準確地寫出來，就成了定義；定義只是一種副產物，明白了就能寫出來。

5. 或許從大學裏能夠帶走的東西都不怎樣吸引，但能夠從中好好想清楚一些關於人生的問題，就值回票價了。

人生是以追求滿足為目的？

2010-03-02T01:37:00.000-08:00

「人生是以追求滿足為目的。」試給出一個反例。教授說這條命題很難給出一個反例，但有些哲學家(如康德?)做到了。

這條「命題」或許不太清晰，或者應該說，「人們總是以追求滿足為目的。」

面對這條問題，我首先想的是，如果沒有定義清楚什麼是滿足，「不可能」給出一個客觀的反例。若存在一個反例，即是，存在一些人，做 A 這件事情，其目的不在於滿足。然後支持這句說話的人就說，做 A 這件事情實際上使那些人獲得一些滿足感，而 A 做這件事情就是因為想獲得那些滿足感，就可以反駁。如此這條命題就不能被推翻。

好吧，就當「滿足」這個詞語是能夠不用定義而能了解其意思的，我接著問了三個問題。

一，如果一個人是以追求不痛苦為目的，那他是不是以追求滿足為目的？或許我表達上不清楚，教授答了平靜都係一種滿足。

二，自殺式炸彈襲擊的算不算是一個反例？教授答，他們有宗教信仰的，相信死後有永生，這是一種滿足感。

三，那麼沒有宗教信仰而自殺的呢？這個問題得不到確切的回答，大概還是我表達技巧太差的問題。

為何我覺得沒有宗教信仰而自殺的可能是一種反例？我都只是針對我對「滿足」在原句中的字義的理解去辯。原因如下：

我再修一修正，第三中舉出的反例應該是不相信死後有生命但因繼續生存太痛苦而自殺者。這種人不相信死後有生命，所以應不會預期自己能在自殺後獲得滿足，所以他們自殺並非一個追求「滿足」的行為。而這種人自殺的原因是繼續生存太痛苦，其目的在於免除將來的痛苦，所以他們自殺是以「不再痛苦」為目的。

好吧，這是不是一個「真正的」反例？如果我是享樂主義的支持者，我或許會說在此情況下的自殺者由於了解到自己不再痛苦，所以能在自殺的過程中獲得滿足感。

沒有清晰定義，沒有準確共識的問題的討論就是這樣的。

後記：

唔知點解今日咁興奮。

祖與占 - 不尋常的存在觀

2010-02-23T02:11:00.001-08:00

注意：內含劇情。

故事其實很簡單。主角是三個尋找自己存在價值的人。一個是透過征服男人來証明自己存在的女人 Catherine，一個是從 Catherine 的征服中找到自己存在價值的 Jules，還有是被征服而最終擺脫了迷思卻賠上了性命的 Jim。

劇情中最可怕的，莫過於是 Catherine 很有目的地用造作的手段玩弄他人的感情，還有就是她的無情。

最後 Catherine 在深愛著她的 Jules 面前，與擺脫了迷思的 Jim 同歸於盡，她這樣做十分合理。一來是對那個對她作出堅決的抵抗的 Jim 作出永恆的佔有；二來是對深愛著她的 Jules 永恆的征服，並於 Jules 身上得到永恆的存在。

http://en.wikipedia.org/wiki/Jules_and_Jim

教育問題

2010-02-22T08:35:00.000-08:00

之前在討論區，有人話父母應該逼Ｄ子女讀呢樣讀o個樣，「少一樣裝備=少一個機會」云云。

我話唔係，父母應該比子女試呢樣試o個樣，而唔係幫佢地選擇佢地唔願意學的東西。

話唔學呢樣個樣第時就少一個機會，who knows?

如果小朋友在做喜歡做的事情，至少現在有一個不痛苦的童年。

又有位會員埋怨父母當年無逼佢學鋼琴，但係大個o左想學番已經太遲。

我就咁講：

「

而你話你大個之後想自己識彈琴啫

車！點知道如果o個陣逼你學，你會唔會學極都唔識，

大個左之後怨老豆老母點解o個陣唔比你拉小提琴架？

」

讀大學何嘗不是呢？

雜記 - 瞎子摸象

2010-02-20T01:37:00.000-08:00

1. 這個假期快要完結了，好像都沒有做過什麼。也好，就當是休息了一個星期，現在重新出發。

2. 想起了過往初中的生活，都有很多所謂計劃，主要是寫什麼電腦遊戲諸如此類。結果想就想得天花龍鳯，結果沒有(什麼)製成品。究其原因，一方面是想得太美好，忍受不住現實與理想的差距；另一方面，編程技巧始終有一段距離。既沒法流暢地「我手寫我心」，很多 Error，很多回頭路；亦無法在構思階段看清前路，規劃框架，想好方向，就有如瞎子摸象，都是 locally 解決問題。

3. 再想想，CE 與 AL 其實也是如此，不過是有 Solution 與 Marking Scheme，令走的路好過一點。如今我還是在瞎子摸象，都是見一個問題，解決一個問題。或許只要解決的問題足夠地多，就能有全局觀。

4. 為何有這樣的毅力，做一件完全沒有保証的事情，我也不太清楚。只是看見工作一點一點的完成，自己希望發生的事情一步一步的實現，就有一種滿足感。不過這種滿足感好像遺失了在哪裏似的...

5. 有時覺得自己做的事情，會破壞這個世界的和諧，所以不太想與這個世界發生太複雜的關係，一切都保持最簡單的模樣，就容易控制自己對這個世界造成的影響。但越是割裂自己與這個世界的關係，越是感到不了解這個世界。我大概應該找些辦法，卸下莫名其妙的不安，回到地球吧...

參考: 瞎子摸象

雜記 - 君子之學貴慎始

2010-02-05T19:21:00.000-08:00

1. 我在學習上一直有很多壞習慣，最近發生的一件"小"事，突顯了這些壞習慣的嚴重性。但我也深知很難在短時間內完全戒掉這些壞習慣，唯有寄望自己保持警覺，不要重蹈覆轍。難怪古人說「習之中人甚矣哉... 故君子之學貴慎始」。

2. 上年聖誕假的時候，"計劃"看的那些書，除了Sheldon 外，也沒有在看。只能說是現實生活中的變化太大，不能預算得這麼長久。想，當然可以想得很美好，但做出來是另一回事。或許不應該向其它人說自己有怎樣的計劃，至少不要說得太遠，太大，太美好；而應該告訴大家，自己做了什麼。

3. 這個學期讀了一點經濟學，令我突然明白為何自己有些奇怪的想法。一來是我的 Utility function 有點詭異，二來是我沒有考慮 Benefit - Cost 這種觀念。

4. 今年我報了 Exchange Program，下年將會在外地讀大學。有些人或許會感到奇怪。是的，有這個決定的理由我也說不清楚，或者我最希望的是，「趁換了天空趁一個人換個靈魂」。

TODO: Next Semester

2009-12-23T19:35:00.000-08:00

這一年半以來，我看的書不多，看完的大概一隻手也數得完；而且也有不少東西應該學好而沒有學好，為此我打算這個 Sem 花一點時間重讀，作此用途的書籍如下：

1. Advanced Calculus - Patrick M. Fitzpatrick

2. Linear Algebra Done Right - Sheldon Jay Axler

3. Some Algebra Books (To be decided)

4. Some Coding Books (To be decided)

我打算集中讀以下這些書：

1. Principles of Mathematical Analysis - Rudin

2. Functions of One Complex Variable - Conway

3. Topology - James R. Munkres.

4. Topology - Sheldon W. Davis

5. Some Complex Analysis Books (To be decided)

空餘時間希望看看：

1. Introduction to Algorithms, Third Edition - Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest and Clifford Stein

2. Algorithms in Java. Part 5, Graph algorithms - Robert Sedgewick

還有時間的話希望開始讀：

1. Real and Complex Analysis - Rudin

基於過去三個 Sem 的表現，我也覺得這計劃很難實現；還是先觀察一下這個 Sem Break 我做了什麼，再作修改。

十年，二十年，三十年

2009-12-23T19:10:00.000-08:00

或許一個人感受時間的長短不在於經歷的事情的多寡，而在於有多少珍惜它。人生在世有多少時間，我不知道；讓它悄悄流走是好是壞我也無法評論，但我回首過去，過去平淡的三個學期，過去迷惘的二十年，帶來的不安，令我不得不更努力抓緊它。十年後若我再回首，或許仍有不少遺憾，但希望我有用力抓緊過。

愛，就這樣簡單。

2009-12-12T02:27:00.000-08:00

Perhaps love is like a window

Perhaps an open door

It invites you to come closer

It wants to show you more

...

當我還在中學的時候，對學習的熱愛，雖然還不足以讓我什麼也樂意學習，不過至少讓我不厭倦我在做的事情。我做一件事情，就是因為我愛我所做的事情，就這樣簡單。

上到大學，或者是見識多了，明白自己所做的事情是如何微不足道，開始會猶疑是否應該做一件事，開始質疑自己當初下決定做一件事是否正確，開始逃避問題，過著明日復明日的生活；於是漸漸忘記了愛，讓所有事情都變得複雜。

當一切我做的事情都變成是我應該做，而不是我想做，是責任而不是興趣，這就是「第二等」地獄。敬業沒有了樂業，是撐不住的。

愛，就是一切的理由，就是讓一切都成立的「公理」，無法解釋，也不必解釋。要是愛，就這樣簡簡單單。

...

And even if you lose yourself

And don't know what to do

The memory of love will see you through

無形之手－－期中試後的反思

2009-11-01T00:10:00.000-07:00

在經濟學上，無形之手是一種地區經濟發展的動力。或許也有一雙無形之手拖著我走向愚昧與無知，擠壓與摧殘我的心智。

這個學期本來是令人充滿期待的。這個學期我修了 Coding，Algebra 以及 Functional Analysis，還有一個 STOT，關於 Tomography。我期待在 Functional 以及 STOT 會有好的表現，畢竟暑假都花了點時間在它們身上。可是事與願違，我對這幾科，仍然是一竅不通。

這是理所當然的。

上兩個星期是 Mid-terms 以及準備 Mid-terms 的季節。我看著書本、筆記，都感覺十分陌生。對於每一科，我都要把我 "學過" 的東西 "重新" 理解一次，把部份練習重新做一次，然後就去考試了。

現在還有兩科 Mid-terms 未派成績，不過結果我都已經略知一二，相信結果會很糟糕（不是一般的糟糕，是真的很糟糕）。為何我"好像"花了很多精力 在這些科目之上，但成績未如理想？

上星期 Functional Mid-term 過後，我放了自己幾天的假期，平靜下來，好好思想一下這一年半來發生的事情，想清楚這一切的因由。然後我得出了一些答案：

一直以來，我都只在數學的形式裏追逐打轉，並沒有深入了解數學的內涵。我只是一個在玩 "數學邏輯" 的人。就例如你問我一條定理為何正確，我只能答這條定理的証明邏輯正確，我不能大約告訴你這個証明當中主要的步驟是什麼，因為我對這個証明的了解只限於每句之間的邏輯關係。定理的前提和結論我也說不清楚，我只是記住整條命題於文字層面的陳述，而並非前提和結論的意義。

有人問我為何想讀 Master，我的答案不是「我很喜歡數學」，而是「我知道自己不適合／我不喜歡在商業世界裏打混」。我並不視數學系為一個發展興趣、發展事業或者尋求真理的地方，我只是把它當作一個避難所。

我不是在讀一些我想讀的東西，而是在讀一些「如果我要讀 Master，我應該讀的東西」。課程裏的東西，對於我來說只是壓力的根源，只是我必須完成，而又不想接觸的東西。所以每當我看著書本、筆記、數學問題，我都覺得很煩厭。而我遇上需要解決的問題，一心只想快快把問題解決，然後將它拋諸腦後。於是我都不怎麼思考，就像我怎樣對待一個錯誤的程序，連問題都沒有耐性了解清楚，就用直覺去產生一些辦法去攻擊那些問題。很多個月以來，我就只是這樣擲骰子，很少真正了解問題，解決問題。

比起一個好的 GPA 帶來的虛榮，我更想得到的是思想上的自由。偏偏我就在這個思想自由的地方，給了自己一個「必然」，限制了自己的思想，放縱自己的情緒，獨自在大學的一角裏找狂，最後彷彿不曾踏足過這片神聖的土地。

到頭來大學已經差不多過了一半，GPA 不好，書也沒有唸好，情緒也沒有好好控制，讀書以外也沒有生活。說這是失敗，不如說這是失誤。時間漸漸過去，在大學裏的生命漸漸枯萎，在這最後的餘光中，還有什麼事想做，就應該好好地去做吧。

幸好，這個時候我還有一對無形的手，給自己一個無形的掌摑。

真

2009-08-29T02:40:00.000-07:00

真或假，是一個很多情況下我們都關心的問題。不過到底怎樣才算是真，怎樣才算是假呢？

感官

有一種觀點是這樣的：若一個命題能被經驗証明為真，則該命題是真的；若能被經驗証明為假，則為假的；否則討論其真假值沒有意義。這樣，我們便能把所有命題劃分為三類：真的，假的，無意義的。

有些人或許覺得，把真假值與經驗拉上關係，這樣是不好的。不過，我們又不可否認，我們是通過感官來認識一切的事物。即使客觀的，絕對的真理存在，我們也必然經過感官才能知道。

什麼是能被經驗証明的呢？就是從感官得知的事實本身，或者從這些已知的事實透過演繹法，正確地推論出來的命題。那麼從歸納法而來的命題呢？據定義，這都應該歸類進無意義的命題之中。

例如說，假設有一部機器能分辦什麼是烏鴉。在這個前提下，你把感官所及的物件都放進機器裏。然後這部機器告訴你該物件是不是烏鴉，是不是黑色。把身邊的東西都放到機器之後，這部機器告訴你，在你所放進去的東西之中，所有烏鴉都是黑色。於是你這樣推論：「由於(1)所有觀察到的烏鴉都是黑色的，所以(2)所有烏鴉都是黑色的。」當中，(1)是真命題，(2) 是無意義的命題，而 "(1)=>(2)" 則是假命題。

那麼，那些無法從經驗証明的，不就都沒意義了嗎，不就都不能分辨真假了嗎？對，就是要這樣，事情才會清清楚楚。歸納法的結論，所以被歸類為無意義的命題，原因在於其得出的結論具有概然性。較其重要的，是用作推論的命題本身。

例如說：「美國的岩士唐曾在月球上漫步」。這個命題，應歸類為無意義。能說真或假的，應該是「我於2009年8月29日，在家中上網觀看維基百科，看見英文維基上Neil Armstrong 那一頁上面寫著：He then turned and set his left boot on the surface at 2:56 UTC July 21, 1969. 」

再舉一個例子：「E=mc^2」這個命題是沒有意義的；能說真假的是：「剛才我在家中某本書看見了...」。

之所以要這樣強調感官，是因為感官就是我們所有知識的第一來源。我們關心的並不只是知識本身，同樣重要的是知識的來源。要去深究一句命題是真是錯，得去尋找命題的來源，從來源出發重新進行縯繹推導，才能確保結論，在來源的前提下，是正確的。

記憶
人賴之以作出推論的，除了是一切感官刺激外，還有是記憶。很仔細地說，可能我每打一個字，都依靠一些非常短暫的記憶，來儲存手指的動作。

我不會質疑記憶到達這個地步，否則事情會變得很麻煩。不過若對於某事含糊不清，要特別小心其作為陳述的真確性。若情況許可，應先檢查來源，或摒棄原來的記憶，重新吸收。只要在足夠短的時間內作出判斷，記憶便可靠。

結論

從已知事實推論出來的，稱之為結論。一個結論的重要性，在其真確；一個不真確的結論要盡量避免其發生。以上各項，其實是盡量令所有結論都真確的方法。

若時間許可，應靜心思考，仔細審視各被經驗証明為真的相關命題，才作出結論。或者在作出一個疑似結論的陳述時，盡量尋找方法去攻擊自己的結論，這樣才可以減少作出錯誤結論。

若沒有經過如此仔細審視的過程，結論是不可靠的。如非必要，應避免短時間內下結論，如此作出的結論亦可能會令往後的推論出錯。

按：作者近來覺得自己的記憶不可靠，加上個性比較急燥，常常在資訊不足或有誤的情況下魯莽地作出推論。於是仔細地想如何能避免作出錯誤陳述，就有了以上各項。

給一年級同學的信

2009-08-07T08:35:00.000-07:00

各位一年級同學：

我對大家有以下的建議：

訂立目標，貫徹始終
進來這個系，可能是興趣使然，或者機緣巧合，或者迫不得已。不管是哪樣，請好好想一想，三年大學，或者四年大學過後，你希望獲得什麼。給自己訂立一個一定要在大學裏完成的目標，然後一步步實現它。
把成績看輕一點
進了大學，課室裏，餐廳裏，校巴上，道路上，經常聽到有人談論成績。不錯，成績是重要的，其重要性是在於量度學習的成效。但切記最重要的不是成績，而是學習本身。作為一個大學生，不應該只學習需要考試的東西（這是非常空虛而且枯燥的）而應該盡量學習，充實自己。
眼光放遠一點，對自己要求高一點
見賢思齊，多點跟傑出的同學交流，擴闊自己的眼光。著眼點不要總是今天，明天，後天；多點想想下個月，下個 sem，下一年。除了要應付功課、考試，多點想想就業、升學的問題。不要把目標訂得太輕易完成；對自己要求要高一點，不要對自己太好，讓自己有藉口去懶惰。
多看一點書
若希望修讀碩士、博士，除了是學習能力之外，對於知識量方面亦有頗高的要求，多看一點書是不能避免的。即使不是以此為目標，多看一點言之有物的書亦能充實精神世界，培養耐性。
自己做功課
有時有些問題想不通，請教一下其它人是應該的，不過不要不經消化，搬字過紙。一來沒經過思考就沒學習；二來自己做功課可以檢視自己是否追上進度，一但落後也可以及早發現，調整計劃；三來做功課其實是一種溫習。
善用時間
請適當地花時間在學習和娛樂上，但不要浪費時間。至於什麼是浪費時間，請自行定義。

以上事情，除了給外位以外，也是給我自己。希望來年能一起努力吧。

一位成績不太好的二年級生上

2009年8月8日

Open my mind

2009-07-24T20:02:00.000-07:00

不經不覺又過了一星期有多。這些日子以來，做了些什麼？不好說。

書看得不多，有印象做的事情，都是出 EPYMT 功課及題解；迎新營營務部開會及製作營刊之類。雖然忙碌，但做的東西不多。

最近參與 EPYMT，有點感慨。一方面覺得自己混混噩噩活了不少日子，到現在差不多20歲了，還是一事無成；另一方面覺得，大學一年間，知識也沒有怎樣增進，思想依然狹窄，實在糟蹋歲月。

這一年來，雖然花了不少時間在讀書上，但事實上學得的不多，原因何在？抽象的說，是我沒有打開我的心靈去接受新的知識；說白一點，就是像個老頭子心裏不願意去學更多的東西，對於新學的未知的東西，會有一種莫名奇妙的不安。

最近大致想好了未來兩年讀的課程，沒有多大信心可以同時讀好的。就賭一賭，看看我可以走得多遠吧。

要專心讀書

2009-07-06T06:02:00.000-07:00

早一排比較懶惰，最近開始收拾心情，認真地讀書了。這個博客，也由於懶惰的關係，所以沒有更新。我想這個博客，大概可以轉型成為我平日讀書的一點記錄，順便與朋友們互勉互勵吧。

今天看了兩篇文章，覺得頗有意思：
(1) How to read mathematics and physics
(2) How to read Mathematics

文章(1) 主要講的是速讀；(2)主要講仔細地讀，文字比較多。看畢 (1)，我想開學後我也應該每天花一點時間去速讀數學書，寫寫 LaTeX Notes（這個暫時在我看來也是非常豪華的舉動）；看畢 (2)，我也覺得自己花了太多時間在質疑一些很基本的問題。

最近在看一本書：Field Theory and Its Classical Problems, by Charles Hadlock 覺得有點吃力。可能是因為之前比較少接觸數論，或者是那本書的難度頗高，不過我相信我看多幾天可以看完的（因為不能續借，還了，書不在手，遲點再看）。所以這兩天都在看數論的筆記，大致感覺良好。

我想，除了看這個筆記之外，明天起同時也速讀一下這本書：The Queen Of Mathematics, by Jay R. Goldman。這本書看起來不淺，但勝在覆蓋面廣，得到多少就多少吧。

必然與不必然 - Year 1 回顧

2009-05-12T02:49:00.000-07:00

回想當初怎麼會進數學系，是因為我覺得自己比較熟悉、有興趣的就只有數學和電腦。然而我覺得會有不少人會當電腦科是「水泡科」，讀書的氣氛可能很不好；另外電腦科收生成績又比較低，對將來找工作可能有負面影響，於是這樣選擇了。

一開始我是很有雄心壯志的。我不但想讀上 Postgrad，而且還想 minor CS，還想學很多其它的東西。我不但要在知性上獲得滿足，我還希望能擴大社交圈子，人格修養方面獲得提昇，正如我之前所說的，要蛻變。然而，一年過後，我覺得所有目標都達不到。過程中我有不斷地反思為何會失敗，如何改善，又有不少計劃，結果都只是空想，實際上沒有多少是確切地實行過。

經過一年的觀察，我開始相信，本質上我是一個懶惰的人，從小已如是。那麼我是怎樣捱過會考與高考的呢？我相信這是由於我自小開始就帶有一點決定論的思想。

有些人會覺得奇怪，相信決定論的人不是應該會覺得很沮喪，覺得什麼也改變不了的麼？在我看來，相信決定論等同於相信這個世界從過去到未來都有一套不變的劇本，而我作為劇本中的一個角色，我的責任就是盡力把我的角色做好。

這個想法有點吊詭的味道：那麼作為劇本中的一個角色，從未看過劇本，又怎知道自己演的是什麼角色，下一秒又應該做什麼呢？

這個問題，似乎已經不能用理性去解答了。而過去我一貫的做法，就是剔除我不想發生的東西，然後讓自己相信我想發生的東西會發生。就是說，讓自己相信劇本中會出現我想發生的東西。然後就是盡力讓這些「必然」會發生的東西變成事實。

例如說，我因為我希望逃避從父母而來的批評指責，因此而令自己確信「我考好會考」是件必然會發生的事情，從而盡力令這件事發生，所以我很努力準備會考。

直到中五，這種思想還可以支持我去努力讀書。中五過後，前路繁多的變數，提醒了我，很多事情即使我相信是必然地發生，也不必然會發生的。

是否必然要升上大學？必然。是否要修讀醫科、商科等「搶手」課程？必然不。是否要考好高考？不必然。升上了大學，再問：是否要把書讀好？不必然。是否要讀 Postgrad？不知道。

一連串的不必然，令我的惰性得以滋長，然後到了今時今日，我依然優柔寡斷，不敢讓自己去相信，某件事是必然地發生的。是好是壞，我也不知道。

未來的日子，或者我需要尋找我喜歡做的事情，而非我應該要做的事情。

理論數學的想像與嚴謹

2009-02-26T00:35:00.000-08:00

我在數學系也讀了一段日子了，雖然學的還只是滄海一栗，但對於數學是一門怎樣的科目，總算有點認識。

在我看來，理論數學的世界，是由兩種概念組成：想像 (Imagination) 與嚴謹 (Rigorousness)。

先談想像。這裏的想像，是指以下兩件事情：

1) 把抽像的概念具體化的過程，就是說，把一些不存在於現實世界的概念，幻化成有如一個蘋果在你面前般實在。

2) 把理論具體化的過程，就是說，把一些不存在於現實世界的理論，化之於有如一個蘋果從樹上掉下來般明顯可見。

有些概念所以抽像，是為了能夠作出嚴謹的定義，以致所建立的理論，能夠嚴謹地被証明；有些概念所以抽像，是因為這些概念是由觀察，某些抽像的概念，而歸納出的概念。

如果你能夠把這些概念，具體化地想像出來，好比在現實中用眼睛看見，用手能觸碰的物件；又如果，你能夠把理論，變為有如 1+1=2這樣直觀顯淺，這樣當你要使用這些工具來解決問題，自然得心應手。

而這裏所指的嚴謹，就是指數學中，利用命題與命題之間必然的關係去進行驗証這種特質。

嚴謹的作用，是確保只要前設（公理）正確，由正確的推論而產生的數學系統，都是正確的。說近一點，就是為了使得我們想像出來的理論是「正確」的。

想像與嚴謹的關係，其實是互相對立的。嚴謹用來束縛想像，使得想像出來的東西有所根據而不會「離經背道」；而想像是用來突破由嚴謹建立出來的框框，使得數學能夠繼續發展，繼續有新的理論。

但兩者對於數學來說，都十分重要。如果數學沒有了想像，數學就沒有了生命，有如一台電腦般進行運算，而不會有任何人類思維上的突破。如果數學沒有了嚴謹，我們就失去了判斷一個理論是否「正確」的依據，可能不知不覺間與真理背道而馳。

鑽研數學，主要有兩項工作：一，理解前人所建立的理論；二，突破前人建立的框框，創建新的理論。想像對於這兩項工作都十分重要。

我認為理想的研究數學的過程，應該是先想像，然後驗証；再想像，再驗証。有如科學實驗般，是有了假設才有實驗。主菜始終是想像，而驗証的過程，只是為了確保理論合理而正確。

學期一不及格

2008-12-22T07:07:00.000-08:00

「學期一不及格」是我對這個學期的總結。不只是因為期終試非常強差人意，回想整個學期，投入與產出是不合理的。我這個學期學了什麼？接近全是數學，其它的很少。然而數學又學得不好，沒有發展其它興趣。三四個月的時間，好像都蒸發了。

我相信在世界上發生的所有事情，都不會單獨地出現，而是有因有果的。這個學期的失敗也不例外。另外，我亦相信總有方法可以做得更好的。雖然過去已經成了事實，但未來，還可以改變。

回想整個學期，我覺得導致此學期不及格的原因主要有幾個：

1. 心急，不冷靜，不理性。經常什麼都想快，有點狂躁，有些不理性的想法，傾向於跳躍式的思考，不肯一步一步地思考問題，只求大概了解問題。有時面對一些已經仔細思考過的問題，感到煩厭，不肯再仔細思考一次。

2. 專注力下降。近幾年來，專注力變差了。會考的時候可以專心一致地讀書十幾個小時，高考的時候只可以專心地讀三四小時，現在計幾條數發一次呆，有些問題想不通又發呆，效率低了很多。以前班房多吵也可以專心讀書，現在也不可以了。

3. 缺乏規律。整個學期也被功課和課堂拖著走，很多時訂下計劃，說今個星期要做什麼什麼，最後很少成功。一方面可能是目標訂得太高，另一方面是太多突如其來的事件。其實有些事件是可以控制的。除了計劃方面，筆記也是。我的筆記簿是不能重閱的。一方面是因為貪方便把所有事情都記在一本筆記簿之上，另一方面是所有科目的筆記是混在一起的。

了解問題之後，下一步就是解決問題。我已經有一套計劃。下個學期會如何，我有期望，但不知道。但那個不是現在需要考慮的因素。現在只需要考慮，如何可以做得更好。

大學之道

2008-09-01T06:03:00.000-07:00

開學約一星期了，在這裏我想談談我心目中的大學，以及一些願景，以作記錄。

大學對於不同人來說，也有不同的意義。有些人希望在大學裏認識不同的人，有人想享受大學自由的生活，有人在尋找終生伴侶，有人在為自己的未來舖路。而在於我來說，追求真理，獲取知識，比這些重要。

這是因為大學的本質就是一個知識的融爐。大學有不少圖書館，內有種類繁多，多不勝數的書藉。大學有認真教學，從事學術的教授。大學提供一個平台，讓就讀不同課程的學生交流，學生亦可以在主修課目之外，選修有興趣的科目。大學提供學習的自由，讓學生學習自主地學習。大學亦提供一個舒適的學習環境。這一切一切，都是社會上所有人共同承擔的。今天，大學所以存在，是因為大家仍然有一個共同的信念：知識就是力量。

正如在十九世紀，德意志帝國的崛起，就是因為它有著完善的教育制度，使得它在短短七十年間，由一個飽受列強侵擾的民族，搖身一變，成為一個在當時國民生產總值遠遠超越法國，僅次於英國的經濟大國，其完善的教育制度功不可沒。

對於大部份人來說，包括我在內，人生可能再也找不到像這三年，具有如此優勢的學習舞台了。或許有人會問，知識有什麼重要？

我相信，透過獲得知識，透過不斷的思考，可以令一個人脫胎換骨。對於我來說，獲取知識是一種過程，或者說是一種手段。而我這三年內真正的目的，是蛻變。三年之後，我希望看見的，是一個無論是在學術上，做人處事方面，都充分地成長了，變得成熟的自己。這才是三年大學生涯中最重要的。最後，我以《大學》的一句作結：

大學之道，在明明德，在親民，在止於至善。

回到過去...What's wrong?

2008-08-08T08:09:00.000-07:00

科幻電影有一個很常出現的情節：回到過去。另一個很常見的情節：改變未來。這兩件事情有可能發生嗎？這兩個問題，其實是息息相關的。

不能回到過去？
所謂回到過去，可以表述如下：

存在某物件所經歷的时間為 t，T(t) > T(t+delta t)，

其中 T(t) 為「客觀」的時間，delta t > 0

問題的出現在於因果鏈。若把整個空間視為一個系統，假設有一件物件從時間 t₁ 回到 t₂，而 t₁>t₂。由於該物件成了於時間 t2 的系統的一部份，因此，

S(T₁)=> S(t₂) => S(T₂) => ... => S(T_n) => S(t₁) => S(t₂)
其中 "=>" 表示因果關係，而 S(t)指在時間 t 的系統，而 T₁>t₂>T₂>...>T_n> t₁

這樣，就形成了一個閉合的因果鏈，無始無終。但我們慣常的觀察告訴我們，在較早時間發生的事情，會導致較後時間發生的事情。例如說，我們把兩個相同的乒乓球在同一高度同一時間放手，兩個球會差不多同時落地。但如果一個放高一點，那麼兩個球落地時間會較明顯地不同。當我們重覆這兩個實驗幾次，我們會得出結論。而我們選擇在哪些高度放下乒乓球，明顯發生先於實驗結果。因此我們會覺得，是較早時的選擇導致了較後的結果。

但值得注意的是，時間的觀念，其實是由記憶給予我們的。我們只能記憶較早之前發生的事情，我們不能記憶未來。用以上例子，我們能否否定乒乓球同時落地這個結果，導致了我們較早的選擇？人本身是根據過去的事實來作出判斷的，但我們的記憶，又會否由未來的空間導致？

最簡單的情況，其實是不存在因果鏈，所有時空只是一個靜態的空間，但存在一些規律。不同時空之間的關係，只是由人類透過記憶去推導出來。因此我們並不能因此否決回到過去的可能性。

改變未來可能嗎？
要談這個問題，就不得不提祖父悖論。此悖論的形式如下：

「某人回到過去，在自己父親出生前把自己的祖父母殺死。」

根據慣常的邏輯，若某人回到過去殺死了祖父母，某人不會出生，所以某人就不會回到過去，殺死祖父母，矛盾。因此某人不能回到過去殺死祖父母。這個問題不單在於「殺死祖父母」。而是，未來的人回到了過去有可能改變過去的空間，從而因著因果鏈改變了未來。

但假若把時空當成是靜態，永恆不變的，問題就容易解決了。因為「回到過去」這個動作，對於某些時空，其實是一個必然發生的過程。靜態的時空是否同一個，只需要考慮整個時空的狀態是否相同。假若在時間 T，未來人殺了祖父母；另外，在未來人出生的時間軸上，同樣在時間 T，祖父母是存活的，明顯地，兩個時空的狀態不同，因此是兩個不同的時空。那個未來人只是主觀地改變了未來，實際上，他並沒有改變自己生命經歷過的時空，而只是整個靜態時空集合中的一隻棋子。

世界有如一台電腦？

2008-08-01T17:54:00.000-07:00

牛頓說，宇宙有如一部機器，與一座大鐘差不多。而我傾向認為世界有如一台電腦。

不變性
透過觀察，我們發現這個世界有很多事情是恆久不變的。例如說，水在0度變成冰，在100度蒸發；燃燒氫氣會得到水；太陽會由東邊升起西邊落下。可能你會質疑某些事情的不變性，例如說擲一個硬幣，落到地上一定是公面或者字面向上嗎？事實上硬幣可以豎立起來。但一些概念上的問題，已知是恆久不變的。例如說 1+1=2。即使有人重定義了表達方法，這個概念的本質也是不變的。

不確定性
假若世界上所有事情發生的規律也是恆久不變的，那麼為何有不確定性的存在？不確定性是來自於儀器或者感官的精確度的限制。不管儀器有多精確，我們也不可以知道一個量度的真確值。另外，影響某一個系統的因素，是多得無法窮舉，也不能全數探測。正如蝴蝶效應所說：

「一隻蝴蝶在巴西輕拍翅膀，會使更多蝴蝶跟著一起輕拍翅膀。最後將有數千隻的蝴蝶都跟著那隻蝴蝶一同振翅，其所產生的巨風可以導致一個月後在美國德州發生一場龍捲風。」

微小的變化，能對整個系統產生具大的影響。如果我們無法窮舉所有影響系統的因素，我們還能準確地預測整個系統的變化嗎？

強決定論
那麼在一個在某一刻全知的系統中，我們有辦法準確地推斷下一刻發生什麼事情嗎？假若能夠，我們可以建立一個這樣的函數：

f: System→System， f(S(t)) = S(t+δt)

其中 S(t) 代表在時間 t 的整個系統。而逆函數是否存在，是否內射等問題，這裏不作討論。

若把整個世界視為一個系統，人類視作這個系統的一個客觀的部份，那麼每件事的發生，人的認知和選擇，都是必然的。即使在人類眼中看似有選擇的餘地，但一切都只不過是決定於整個世界某些時間前的狀態。

假若時間是離散的，這就等同於一部沒有任何人操作，孤立而不斷運行的電腦。所有指令，是一早輸入了的。整台電腦只是依著指令執行。而這個世界的運作可以歸納為一個迴遞呼叫的程序，不斷把函數輸出的系統重新代進函數中運算。

其它選擇
當然，這個世界還有很多可能性的。這篇文章曾使用以下假設：

在一個全知的系統，某一刻與下一刻的關係是必然的
某一刻的系統，只可能產生一個系統
時間是離散的

集合裏的集合與溫氏圖

2008-07-22T16:57:00.000-07:00

平時我們會使用溫氏圖來表達集合之間的關係。例如，「男人」和「人」，兩個集合可以用以下的溫氏圖表達：

由上圖我們可以推斷，「A是男人」=>「A是人」。

那麼如果我們用溫氏圖表達一個集合的集合，應該是怎樣的呢？例如，S 是一個集合包含所有「公司」，McDonald 是一間公司，同時是一個集合，包含所有在McDonald 工作的員工。

如果你嘗試利用溫氏圖表達以上關係，或者你會得到以下這幅圖：
不過，此圖不正確。為什麼？

問題在於，McDonald 工作的員工，屬於 S 嗎？溫氏圖中，所有元素都是一點，即使某元素是另一個集合，也應該是一點。如果在集合中畫了一個封閉的面，那面表示另一個集合，所有在該平面上的元素皆屬於包圍平面的集合。

要用溫氏圖表達集合的集合，可以參看下圖：

時空之始...How did the world begin?

2008-07-19T17:03:00.000-07:00

若時間有開始？
我們說一件事情有開始，是指事情在某個時間之前不存在。同樣地，如果我們說時間有開始，那就表示時間在開始「之前」，是不存在的。在那個不存在時間的空間，事情的發生並沒有先後之分。在我們慣常的邏輯之中，如果事件 A 是事件 B 的因，那麼 A 必然發生在 B之前，但，是否必須呢？非也。若我們把事件當作沒有時間性的命題，例如「C 是男人 => C 是人類」這個命題，C 是男人與 C 是人類具有因果關係，但兩句根本不存在先後之分。

時間在開始「之前」
這是一個很有趣的問題：在時間都沒有的空間，我們怎知道這個空間是存在在「t=0」「之前」呢？「之前」其實已經運用了時間這個概念了。我們實際要問的，是「時間開始之因」，它是存在於一個獨立於這個時空的空間之中。這個「因」，我們只可以當成為一個事實去處理，發生於「何時」是未下定義的。

誰創造了時空？
這亦即「造物者」是否存在及「自有」的問題。假設一個個體X₁創造了時空，即，因為有X₁，所以世界存在：

「X₁ => Spacetime」

然後，X₁又是誰創造的？如果我們不斷地問，我們會得到以下結果：

「X_n =>X_n-1=>...=>X₁=> Spacetime」

那麼，到底 n是多少呢？佛教徒說 n = 無限*，聖經裏指出 n=1**，無神論者說 n=0，而實際上，n是多少是不可知的。

為何不可是迴圈？
考慮以下這個命題：「A=>B=>C=>D=>A」。由於 A=>B 及 B=>C=>D=>A，所以 A<=>B，類似地，我們得到，A<=>B<=>C<=>D。

那麼這樣又如何？

「X_n =>X_n-1=>...=>X₁=> Spacetime=>X_n」

就是說，所有創造的過程，是等價的。這樣，n的存在，對於時空是怎樣開始的，就沒有實際意義了。也就可以說，這個世界，是「自有」的。根據我們慣常的經驗，這似乎是不可能的。因為「A => B」表示 A 先比 B 發生，但在沒有時間的空間，這就不存在矛盾了。

若時間沒有開始？
所謂時間沒有開始，就是不存在一個最小的時間 t。有什麼可能？我想到兩個比較合理的解：

(一) 時間是一個迴圈
時間就像一個圓形的軌道，世界就在這個軌道上跑。當我們去追溯這個世界的時間的開始，我們就在圓形上某一點往後尋找，時間 t 不斷減少，但我們找不到最小的時間 t。若時間真的是一個迴圈，同樣地這個世界沒有盡頭，任何發生的也會重覆發生。

(二) 時間只不過是人類的錯覺
如果時間不是連續的，我們可以把在時間軸上的所有「三維」空間獨立地分割出來。某兩個在不同時間的空間，看似有因果關係，實際上是「無關」的。我們只活在某一刻，而我們覺得我們存在了若干時間，只不過是因為有「記憶」。那麼假若在時間的因果鏈上，有無限個平行的空間，最小的時間 t 便不存在了。

大爆炸理論？
有人說大爆炸理論証實了時間是有開始的。我沒有深究過此理論，但如果純綷根據維基中的描述：「根據大霹靂理論，宇宙是在大約140億年前由一個密度極大且溫度極高的狀態演變而來的。」這命題根本沒有否定宇宙是沒有開始的。因為這個狀態之前，存不存在另一個狀態並沒有討論。當然，實際的理論也不只會是這個命題這樣簡單。要知道這個理論有沒有否定「時間沒有開始」，就要看這個理論的推導過程，以及這個理論的前設了。

*推斷自佛教中「過去無始，未來無終」的思想。
**推斷自聖經對神是「自有永有」的描述，如有錯誤請指出。

參考資料：

維基 - 大爆炸理論
維基 - 時間

理髮師悖論

2008-07-13T06:10:00.000-07:00

理髮師悖論是一個這樣的命題：「存在一個理髮師給且**只給所有**不給自己理髮的人理髮。」***

這個悖論是這樣形成的：

他的「約定」是「給且**只給所有**不給自己理髮的人理髮」
若理髮師給自己理髮，與約定矛盾。
若理髮師不給自己理髮，根據約定，他就要給自己去理髮。

這個命題的一般形式就是羅素悖論：「存在集合 S:{集合x| x 不是 x 中的元素}」。

這個悖論是這樣形成的：

若 A 屬於 S，A 不屬於 A
若 A 不屬於 S，A 屬於 A

把 A 轉換成 S，兩者皆矛盾。

根據排中律，任何元素 a 只可能屬於 S 或不屬於 S。但羅素建立一個元素和一個集合，使該元素既不屬於某集，亦不屬於該集的補集。

這就是所謂的第三次數學危機。

問題的解決，是透過改造原來的集合論的內涵公理。

原來的內涵公理公理是這樣的：「若 P 是集合的一個性質，存在集合 A，對於所有 x，(x 屬於A<=> P(x))」

套用羅素悖論，P(x) = x不屬於x，即「存在集合 A，對於所有 x，x屬於A <=> x 不屬於 x」；而當 x = A，A 屬於 A <=> A 不屬於 A，這導致矛盾，即集合 A 不存在，公理錯誤。

內涵公理經修改後，變成這樣：「若 P 是集合的一個性質，存在集合 A，對於所有 x，(x 屬於A<=> P(x) 及 x 是一個集合)」*

回到羅素悖論，「存在集合 A，對於所有 x，x屬於A <=> x 不屬於 x 及 x 是一個集合」；當 x = A，A 屬於 A <=> A 不屬於 A 及 A 是一個集合，由此推斷 A 不是一個集合，因此不導致矛盾。

就這樣，數學的可靠性又得以維持了。

參考網頁：

*任何單獨元素視為一個集合，例如 1 視為 {1}
** 更正，15/07/08 07:54
*** 英文版本是：「He(the barber) shaves all and only those men who do not shave themselves.」

P.S 我並沒有正式學習過內涵公理，其意思只是透過僅有的維基條目推導出來，如有錯誤請指出。

全能悖論

2008-07-11T23:23:00.000-07:00

最近在某論壇中看見此問題，我又在此說說對這問題的看法。

全能悖論是一系列的悖論，這些命題主要針對「全能」這個概念存在邏輯矛盾，其中一條比較常見的是這悖論：
「上帝能創造自己舉不起的石頭。」

「全能」即無所不能，透過考慮以上命題，可以很容易証明「全能」是不可能的，論証方法如下：

情況一：上帝能創造自己舉不起的石頭－－有一塊石頭上帝舉不起，所以上帝不是全能的
情況二：上帝不能創造自己舉不起的石頭－－上帝不能創造這塊石頭，所以上帝不是全能的
由於「能造」與「不能造」是全集，所以上帝不是全能。

當然，無論命題中的主語是誰，對命題的証明無影響，所以「全能」是不可能的。

那麼「上帝能創造自己舉不起的石頭」嗎？由於已知上帝不是「全能」的，所以無論上帝能不能造出一塊自己舉不起的石頭，也沒有矛盾。

有些人對於此命題有以下的論調：
「上帝能造一塊自己拿不起的石頭，但當他想拿起的時候，祂就能拿起了。」

我對此論調的理解是，這是「偷換概念」。如果說在時間 a，上帝創造了一塊自己拿不起的石頭；而在時間 b> a，上帝能拿起石頭。雖然石頭是同一塊，但上帝不是同一個。在時間 a，上帝是拿不起石頭的上帝；而在時間 b，上帝是能拿起石頭的上帝。然而就在時間 a，「上帝能造一塊自己拿不起的石頭」這個命題已經錯了。

如果說 a 和 b 是同一個時刻，那又不對。「想拿就能拿起」，即上帝能拿起石頭。正如拿起一條羽毛，我想拿起就能拿起，即我能拿起。所以如果上帝造了一塊「想拿就能拿起」，即上帝造了一塊自己能拿起的石頭。所以如果 a 和 b 是同一個時刻，上帝根本沒有造出一塊自己拿不起的石頭。

有些人即使看完嚴謹的論証過程，仍然堅持相信「上帝是全能的」，即使找不到任何合理的理由推翻「反全能論」，我覺得這種信念未免太缺乏理智了。