理論數學的想像與嚴謹

我在數學系也讀了一段日子了，雖然學的還只是滄海一栗，但對於數學是一門怎樣的科目，總算有點認識。

在我看來，理論數學的世界，是由兩種概念組成：想像 (Imagination) 與 嚴謹 (Rigorousness)。

先談想像。這裏的想像，是指以下兩件事情：

1) 把抽像的概念具體化的過程，就是說，把一些不存在於現實世界的概念，幻化成有如一個蘋果在你面前般實在。

2) 把理論具體化的過程，就是說，把一些不存在於現實世界的理論，化之於有如一個蘋果從樹上掉下來般明顯可見。

有些概念所以抽像，是為了能夠作出嚴謹的定義，以致所建立的理論，能夠嚴謹地被証明；有些概念所以抽像，是因為這些概念是由觀察，某些抽像的概念，而歸納出的概念。

如果你能夠把這些概念，具體化地想像出來，好比在現實中用眼睛看見，用手能觸碰的物件；又如果，你能夠把理論，變為有如 1+1=2這樣直觀顯淺，這樣當你要使用這些工具來解決問題，自然得心應手。

而這裏所指的嚴謹，就是指數學中，利用命題與命題之間必然的關係去進行驗証這種特質。

嚴謹的作用，是確保只要前設（公理）正確，由正確的推論而產生的數學系統，都是正確的。說近一點，就是為了使得我們想像出來的理論是「正確」的。

想像與嚴謹的關係，其實是互相對立的。嚴謹用來束縛想像，使得想像出來的東西有所根據而不會「離經背道」；而想像是用來突破由嚴謹建立出來的框框，使得數學能夠繼續發展，繼續有新的理論。

但兩者對於數學來說，都十分重要。如果數學沒有了想像，數學就沒有了生命，有如一台電腦般進行運算，而不會有任何人類思維上的突破。如果數學沒有了嚴謹，我們就失去了判斷一個理論是否「正確」的依據，可能不知不覺間與真理背道而馳。

鑽研數學，主要有兩項工作：一，理解前人所建立的理論；二，突破前人建立的框框，創建新的理論。想像對於這兩項工作都十分重要。

我認為理想的研究數學的過程，應該是先想像，然後驗証；再想像，再驗証。有如科學實驗般，是有了假設才有實驗。主菜始終是想像，而驗証的過程，只是為了確保理論合理而正確。