理髮師悖論

理髮師悖論是一個這樣的命題：「存在一個理髮師給且**只給所有**不給自己理髮的人理髮。」***

這個悖論是這樣形成的：

1. 他的「約定」是「給且**只給所有**不給自己理髮的人理髮」
   
2. 若理髮師給自己理髮，與約定矛盾。
3. 若理髮師不給自己理髮，根據約定，他就要給自己去理髮。

這個命題的一般形式就是羅素悖論：「存在集合 S:{集合x| x 不是 x 中的元素}」。

這個悖論是這樣形成的：

1. 若 A 屬於 S，A 不屬於 A
2. 若 A 不屬於 S，A 屬於 A

把 A 轉換成 S，兩者皆矛盾。

根據排中律，任何元素 a 只可能屬於 S 或 不屬於 S。但羅素建立一個元素和一個集合，使該元素既不屬於某集，亦不屬於該集的補集。

這就是所謂的第三次數學危機。

問題的解決，是透過改造原來的集合論的內涵公理。

原來的內涵公理公理是這樣的：「若 P 是集合的一個性質，存在集合 A，對於所有 x，(x 屬於A<=> P(x))」

套用羅素悖論，P(x) = x不屬於x，即「存在集合 A，對於所有 x，x屬於A <=> x 不屬於 x」；而當 x = A，A 屬於 A <=> A 不屬於 A，這導致矛盾，即集合 A 不存在，公理錯誤。

內涵公理經修改後，變成這樣：「若 P 是集合的一個性質，存在集合 A，對於所有 x，(x 屬於A<=> P(x) 及 x 是一個集合)」*

回到羅素悖論，「存在集合 A，對於所有 x，x屬於A <=> x 不屬於 x 及 x 是一個集合」；當 x = A，A 屬於 A <=> A 不屬於 A 及 A 是一個集合，由此推斷 A 不是一個集合，因此不導致矛盾。

就這樣，數學的可靠性又得以維持了。

參考網頁：

1. 內涵公理 - 維基百科
2. 羅素公理體系 - 維基百科
3. 理髮師悖論 - 維基百科
4. 羅素悖論 - 維基百科
5. 羅素悖論 - 百度百科

*任何單獨元素視為一個集合，例如 1 視為 {1}
** 更正，15/07/08 07:54
*** 英文版本是：「He(the barber) shaves all and only those men who do not shave themselves.」

P.S 我並沒有正式學習過內涵公理，其意思只是透過僅有的維基條目推導出來，如有錯誤請指出。